Bentuk akar adalah sebuah pernyataan aljabar yang memiliki tanda akar kuadrat (atau akar pangkat tiga atau yang lebih tinggi). Bentuk ini sering kali dapat menggambarkan dua angka yang bernilai sama walaupun sekilas tampak berbeda (contohnya, 1/(akar(2) — 1) = akar(2)+1). Oleh karena itu, dibutuhkan sebuah «rumusan standar» untuk bentuk macam ini. Jika ada dua pernyataan, keduanya dalam rumusan standar, yang tampak berbeda, keduanya tidak sama. Para ahli matematika sepakat bahwa rumusan standar bentuk kuadrat memenuhi syarat sebagai berikut:

• Menghindari penggunaan pecahan
• Tidak menggunakan pangkat pecahan
• Menghindari penggunaan bentuk akar pada penyebut
• Tidak mengandung perkalian dua bentuk akar
• Angka di bawah akar tidak bisa diakarkan lagi

Salah satu penggunaan praktis dari hal ini adalah dalam ujian pilihan berganda. Ketika Anda menemukan jawaban, tetapi jawaban Anda tidak sama dengan pilihan https://rahasiatoto.net/ yang ada, cobalah untuk menyederhanakannya menjadi rumusan standar. Karena para pembuat soal biasanya menuliskan jawaban dalam rumusan standar, lakukan hal yang sama pada jawaban Anda untuk menyamakan dengan jawaban mereka. Di dalam soal esai, perintah seperti «sederhanakan jawaban Anda» atau «sederhanakan semua bentuk akar» berarti siswa harus menjalankan langkah-langkah berikut sampai memenuhi rumusan standar seperti di atas. Langkah ini juga bisa dipakai dalam menyelesaikan persamaan meskipun beberapa jenis persamaan lebih mudah diselesaikan dalam rumusan tidak standar.

Langkah

Jika perlu, pelajari kembali aturan operasi akar dan pangkat (keduanya sama — akar adalah pangkat pecahan) karena kita membutuhkannya dalam proses ini. Pelajari juga kembali aturan dalam penyederhanaan polinomial dan bentuk rasional karena akan kita butuhkan untuk menyederhanakan.

Bilangan Kuadrat Sempurna

Sederhanakan semua akar yang mengandung bilangan kuadrat sempurna. Bilangan kuadrat sempurna adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri, contohnya 81, yang merupakan hasil perkalian 9 x 9. Untuk menyederhanakan bilangan kuadrat sempurna, hilangkan saja tanda akar dan tuliskan nilai akar kuadrat dari bilangan tersebut.

• Sebagai contoh, 121 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 11 x 11 sama dengan 121. Jadi, Anda bisa menyederhanakan akar(121) menjadi 11, dengan menghilangkan tanda akar.
• Untuk mempermudah langkah ini, Anda harus mengingat dua belas bilangan kuadrat sempurna pertama: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

Sederhanakan semua akar yang mengandung bilangan pangkat tiga sempurna. Bilangan pangkat tiga sempurna adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri dua kali, misalnya 27, yang merupakan hasil perkalian 3 x 3 x 3. Untuk menyederhanakan bentuk akar bilangan pangkat tiga sempurna, hilangkan saja tanda akar dan tuliskan nilai akar pangkat tiga dari bilangan tersebut.

• Sebagai contoh, 343 adalah bilangan pangkat tiga sempurna karena merupakan hasil perkalian 7 x 7 x 7. Jadi, akar pangkat tiga dari 343 adalah 7.

Mengubah Pangkat Pecahan Menjadi Akar

Atau mengubah sebaliknya (kadang-kadang bisa membantu), tetapi jangan mencampurkannya dalam pernyataan yang sama seperti akar(5) + 5^(3/2). Kita akan mengasumsikan bahwa Anda ingin menggunakan bentuk akar dan kita akan menggunakan simbol akar(n) untuk akar kuadrat dan akar^3(n) untuk akar pangkat tiga.

Ambil satu pangkat pecahan dan ubah menjadi bentuk akar, misalnya x^(a/b) = akar pangkat b dari x^a .

• Jika pangkat akar ada dalam bentuk pecahan, ubah menjadi bentuk biasa. Misalnya akar pangkat (2/3) dari 4 = akar(4)^3 = 2^3 = 8.

Ubah pangkat negatif menjadi bentuk pecahan, misalnya x^-y = 1/x^y

• Rumus ini hanya berlaku untuk pangkat konstan dan rasional. Jika Anda berhadapan dengan bentuk seperti 2^x, jangan diubah, bahkan jika soal mengindikasikan bahwa x bisa bilangan pecahan atau negatif.

Gabungkan suku yang sama dan sederhanakan bentuk rasional yang dihasilkan.

Menghilangkan Pecahan dalam Akar

Perhatikan bilangan di bawah tanda akar apakah masih mengandung pecahan. Jika masih, …

Ganti menjadi pecahan yang terdiri dari dua akar dengan menggunakan identitas akar(a/b) = akar(a)/akar(b).

• Jangan menggunakan identitas ini jika penyebutnya negatif, atau jika dalam bentuk variabel yang mungkin bernilai negatif. Dalam kasus ini, sederhanakan pecahan terlebih dahulu.

Sederhanakan tiap bilangan kuadrat sempurna dari hasil. Artinya, ubah akar(5/4) menjadi akar(5)/akar(4), lalu sederhanakan menjadi akar(5)/2.

Gunakan cara penyederhanaan lain seperti menyederhanakan pecahan yang rumit, menggabungkan suku yang sama, dll.

Menggabungkan Perkalian Akar

Jika Anda mengalikan satu bentuk akar dengan yang lain, gabungkan keduanya dalam satu tanda akar menggunakan rumus: akar(a)*akar(b) = akar(ab). Misalnya, ubah akar(2)*akar(6) menjadi akar(12).

• Identitas di atas, akar(a)*akar(b) = akar(ab), berlaku jika bilangan di bawah tanda akar tidak negatif. Jangan menggunakan rumus tersebut bila a dan b negatif karena Anda akan membuat kesalahan dengan membuat akar(-1)*akar(-1) = akar(1). Pernyataan di sisi kiri sama dengan -1 (atau tidak terdefinisikan jika Anda tidak memakai bilangan kompleks) sementara sisi kanan sama dengan +1. Jika a dan/atau b negatif, «ubah» terlebih dahulu tandanya seperti akar(-5) = i*akar(5). Jika bentuk di bawah tanda akar berupa variabel yang tandanya tidak diketahui dari konteks atau bisa positif atau negatif, biarkan saja tetap begitu untuk sementara. Anda bisa menggunakan identitas yang berlaku lebih umum, akar(a)*akar(b) = akar(sgn(a))*akar(sgn(b))*akar(|ab|) yang berlaku untuk semua bilangan riil a dan b, tetapi biasanya rumus ini tidak banyak membantu karena menambah kerumitan dengan penggunaan fungsi sgn (signum).
• Identitas ini hanya berlaku jika bentuk akar memiliki akar pangkat yang sama. Anda bisa mengalikan akar pangkat yang berbeda seperti akar(5)*akar^3(7) dengan mengubah keduanya ke dalam akar pangkat yang sama. Untuk melakukan hal ini, ubah sementara akar pangkat menjadi bentuk pecahan: akar(5)*akar^3(7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Lalu gunakan aturan perkalian untuk mengalikan keduanya menjadi akar pangkat enam dari 6125.

Mengeluarkan Faktor Bilangan Kuadrat dari Akar

Memfaktorkan bentuk akar tidak sempurna menjadi faktor-faktor prima. Faktor adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan lain membentuk sebuah angka — misalnya, 5 dan 4 adalah dua faktor dari 20. Untuk memecah bentuk akar tidak sempurna, tuliskan semua faktor dari bilangan tersebut (atau sebanyak mungkin, jika bilangannya terlalu besar) sampai Anda menemukan sebuah kuadrat sempurna.

• Misalnya, cobalah cari semua faktor dari 45: 1, 3, 5, 9, 15, dan 45. 9 adalah faktor dari 45 dan juga sebuah kuadrat sempurna (9=3^2). 9 x 5 = 45.

Hilangkan semua pengali yang merupakan kuadrat sempurna dari dalam tanda akar. 9 adalah kuadrat sempurna karena merupakan hasil perkalian 3 x 3. Keluarkan 9 dari tanda akar dan ganti dengan 3 di depan tanda akar, menyisakan 5 di dalam tanda akar. Jika Anda «memasukkan» 3 kembali ke dalam tanda akar, kalikan dengan dirinya sendiri sehingga menjadi 9, dan jika dikalikan dengan 5 menjadi 45 kembali. 3 akar 5 adalah cara sederhana untuk menyatakan akar 45.

• Artinya, akar(45) = akar(9*5) = akar(9)*akar(5) = 3*akar(5).

Mencari kuadrat sempurna dalam variabel. Akar kuadrat dari a kuadrat adalah |a|. Anda bisa menyederhanakan ini menjadi hanya «a» jika variabel yang diketahui bernilai positif. Akar kuadrat dari a pangkat 3 jika dipecah menjadi akar kuadrat dari a kuadrat dikali a — ingat bahwa angka pangkat dijumlahkan jika kita mengalikan dua bilangan pangkat, jadi a kuadrat dikali a sama dengan a pangkat tiga.

• Oleh karena itu, kuadrat sempurna di dalam bentuk a pangkat tiga adalah a kuadrat.

Keluarkan variabel yang mengandung kuadrat sempurna dari dalam tanda akar. Sekarang, keluarkan a kuadrat dari tanda akar dan ganti menjadi |a|. Bentuk sederhana dari akar a pangkat 3 adalah |a| akar a.

Gabungkan suku yang sama dan sederhanakan semua bentuk akar dari hasil perhitungan.